مختصری بر سیستم مختصات

کره سماوی

ستارگان در فواصل بسیار دوری از زمین قرار دارند، فاصله نزدیک ترین ستاره خارج از منظومه شمسی تا زمین در حدود 10⁹ برابر شعاع زمین است که این فاصله تقریباً 4 سال نوری است، همچنین ستاره Vega در حدود 30 سال نوری و ستاره قطبی (Polaris) در حدود 50 سال نوری با زمین فاصله دارند.        

این فواصل نسبت به فواصل اجرام سماوی در منظومه شمسی بخصوص فاصله زمین تا خورشید که در حدود 8 دقیقه نوری است بسیار طولانی ‌تر می‌باشند، بنابراین می ‌توان نتیجه‌گیری کرد که فواصل در نجوم  قابل اندازه‌گیری نیستند، همچنین ابعاد خورشید، ‌زمین و فاصله بین زمین و خورشید قابل اغماض هستند و ما قادر هستیم مجموعه زمین و خورشید را بصورت یک نقطه در نظر بگیریم.

کره سماوی: کره‌ای است به شعاع واحد که مرکز آن منطبق است بر مرکز ثقل خورشید بطوریکه تمامی ستارگان روی سطح آن تصویر شده ‌باشند.

شکل 1 – کره سماوی

محور دورانی لحظه‌ای زمین کره سماوی[1] را در دو قطب شمال[2] و جنوب سماوی[3] قطع می ‌کند.

اگر صفحه استوای زمین را از طرفین گسترش دهیم، سطح کره سماوی را در طول یک دایره عظیم قطع خواهد کرد که به آن استوایی سماوی می‌گویند.

امتداد قائم مکان (راستای شاقولی در نقطه مشاهداتی) کره سماوی را در دو نقطه قطع می ‌کند، نقطه‌ای که در بالای سر ناظر قرار دارد، سمت‌الرأس و نقطه دیگر سمت‌القعر نامیده می‌شود.

صفحه‌ای که از قطبین سماوی عبور می ‌کند و بر صفحه استوای سماوی عمود باشد، صفحه نصف‌النهار سماوی نامیده می ‌شود.

صفحه نصف‌النهار سماوی گذرنده از سمت‌الرأس ناظر، صفحه نصف‌النهار سماوی ناظر نامیده می‌شود.

صفحه نصف‌النهار سماوی گذرنده از ستاره، دایره ساعتی نامیده می ‌شود.

صفحه عمود بر قائم محل و گذرنده از مرکز کره سماوی، صفحه افق سماوی نام دارد.

صفحه عمود بر افق سماوی و گذرنده از سمت‌الرأس ناظر، صفحه قائم نامیده می‌شود.

صفحه قائمی که عمود بر صفحه نصف‌النهار سماوی ناظر باشد، صفحه قائم اولیه نامیده می‌شود، و فصل مشترک آن با افق سماوی، به ترتیب شرق و غرب نامیده می ‌شوند.

مکان‌های برخورد نصف‌النهار سماوی ناظر با افق سماوی، شمال و جنوب نامیده می ‌شوند.

مسیر ظاهری حرکت خورشید به دور زمین، صفحه اکلپتیک[4] است. این صفحه استوای سماوی را در دو نقطه که طول روز و شب در آنها یکی است به نام نقاط اعتدالین قطع می‌کند.

نقطه‌ای که خورشید در مسیر ظاهری ‌اش از جنوب به شمال، استوای سماوی را قطع کند، اعتدال بهاری[5] و نقطه مقابل آن اعتدال پاییزی[6] نام دارد.

زاویه بین صفحات اکلپتیک با استوای سماوی تقریباً ثابت و در حال حاضر در حدود  می‌باشد.

نقاطی که به فاصله 90 درجه از هر یک از نقاط اعتدال واقع‌اند و در آنها خورشید در حداکثر فاصله زاویه‌ای مثبت و منفی خود از استوای سماوی قرار دارد، به نقاط انقلاب تابستانی[7] و زمستانی[8] موسوم هستند.

به منظور تعیین مختصات ستارگان روی کره سماوی سیستم‌های مختصات سماوی به شرح زیر تعریف می‌شوند :

سیستم مختصات افقی[9] :

  مشخصات سیستم:

1.  مبدا : مرکز ثقل خورشید

2.  قطب اولیه یا محورZ :درراستای قائم مکان و گذرنده از نقطه سمت‌الرأس

3.  صفحه اولیه : صفحه افق سماوی

4.  صفحه ثانویه:  نصف‌النهار سماوی ناظر

5.  محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه و گذرنده از نقطه شمال نجومی

6.  محور y : به شکلی که سیستم دست‌چپی باشد.

شکل 2 – سمستم مختصات افقی

در این سیستم مختصات، مختصات یک ستاره را با دو پارامتر ارتفاع ستاره ( ) و آزیموت (A) نشان می ‌دهیم.

ارتفاع ستاره :

زاویه بین صفحه افق سماوی و امتداد ستاره که در دایره قائم گذرنده از ستاره در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 90 درجه اندازه‌گیری می ‌شود.

آزیموت ستاره :

زاویه بین نصف‌النهار سماوی ناظر و دایره قائم ستاره که در صفحه افق سماوی در جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 360 درجه اندازه‌گیری می ‌شود.

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر است :

شکل 3 – ارتفاع و آزیموت ستاره

سیستم زاویه ساعتی (Hour Angle) :

  مشخصات سیستم:

1.  مبدا : مرکز ثقل خورشید

2. قطب اولیه یا محورZ : در راستای محور دوران لحظه‌ای زمین و گذرنده از قطب شمال سماوی

3.  صفحه اولیه : صفحه استوای سماوی

4.  صفحه ثانویه: نصف‌النهار سماوی ناظر

5.  محور x : فصل مشترک بین صفحات اولیه و ثانویه

6.  محور y : به شکلی که سیستم دست‌چپی باشد.

شکل 4 – سیستم زاویه ساعتی

 مختصات یک ستاره در این سیستم با دو پارامتر مشخص می ‌شود:میل ستاره[10] و زاویه ساعتی[11] ستاره. 

میل یک ستاره( ) :

زاویه بین صفحه استوای سماوی و امتداد ستاره است که در صفحه دایره ساعتی و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 90 درجه اندازه‌گیری می ‌شود.

زاویه ساعتی ستاره (h) :

زاویه بین نصف‌النهار سماوی ناظر و دایره ساعتی ستاره که در صفحه استوای سماوی و در جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 360 درجه یا 0 تا 24 ساعت اندازه‌گیری می‌شود.

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر است :

            شکل 5 – میل ستاره و زاویه ساعتی ستاره

سیستم مختصات بعدی (Right Ascension) :

     مشخصات سیستم:

1.  مبدا : مرکز ثقل خورشید

2. قطب اولیه یامحورZ : در راستای محور دوران لحظه‌ای زمین و گذرنده از قطب شمال سماوی

3.  صفحه اولیه : صفحه استوای سماوی

4.  صفحه ثانویه : دایره ساعتی گذرنده از نقطه  (ورنال)

5.  محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه و گذرنده از نقطه ورنال

6.  محور y : طوری است که سیستم دست‌راستی باشد.

   مختصات هر ستاره در این سیستم با دو پارامتر بعد                   ( ) و ) ( میل ستاره نشان داده می‌شود.

شکل 6 – سیستم مختصات بعدی

بعد ستاره[12] :

زاویه بین دایره ساعتی نقطه  و دایره ساعتی ستاره که در صفحه استوای سماوی و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 24 ساعت اندازه‌گیری می ‌شود.

اگر اثر هر دو حرکت پرسشن و نوتیشن را بر روی نقطه  در نظر بگیریم نقطه  حقیقی است و به این سیستم True R.A گفته می ‌شود.

نقطه ائی که فقط تحت تأثیر پرسشن است نقطه  متوسط نامیده می ‌شود. به این سیستم Mean R.A گفته می‌شود.

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر است :

شکل 7 – بعد ستاره

سیستم مختصات اکلپتیک :

1.  مبدا‌ : مرکز ثقل خورشید

2.  قطب اولیه : در راستای محور اکلپتیک و گذرنده از قطب شمال اکلپتیکی

3.  صفحه اولیه : صفحه اکلپتیک

4.  صفحه ثانویه : نصف‌النهار اکلپتیکی گذرنده از نقطه ورنال

5.  محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه و گذرنده از نقطه ورنال

6.  محور y : طوری که سیستم دست‌راستی باشد.

شکل 8 - سیستم مختصات اکلپتیک

مختصات هر ستاره در این سیستم مختصات با دو پارامتر عرض و طول اکلپتیک مشخص می‌شود.

عرض اکلپتیک ( ) :

زاویه بین صفحه اکلپتیک وامتداد ستاره که در صفحه  نصف‌النهار اکلپتیکی گذرنده از ستاره ودر جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا90درجه اندازه‌گیری میشود.

طول اکلپتیک ( ) :

زاویه بین نصف‌النهار اکلپتیکی نقطه  و نصف‌النهار اکلپتیکی ستاره در صفحه اکلپتیک و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین 0 تا 360 درجه اندازه‌گیری می ‌شود.

بردار پایه در این سیستم مختصات به صورت زیر است :

شکل 9 – طول و عرض اکلپتیک

ارتباط بین سیستم‌های مختصات سماوی

1-      رابطه بین سیستم‌های افقی و زاویه ساعتی:    

شکل 10 – ارتباط بین سیستم مختصات بعدی و اکلپتیک

مطابق شکل و براساس خواص ماتریس‌های دوران می ‌توان نوشت:

رابطه معکوس بین این سیستم‌ها بصورت زیر خواهد شد.

2-      رابطه بین سیستم‌های زاویه ساعتی و بعدی:

شکل 11 – ارتباط بین سیستم زاویه ساعتی و بعدی

مطابق شکل و با توجه به ماتریس‌های دوران می ‌توان نوشت:

P₂ : ماتریس انعکاسی است.      

LST : زاویه ساعتی نقطه ورنال است.

رابطه معکوس بین این سیستم‌ها بصورت زیر خواهد شد.

3- ارتباط بین سیستم‌های بعدی و الکلپتیک :

مطابق شکل و براساس روابط ماتریس‌های دوران می ‌توان نوشت:

شکل 12 – ارتباط بین سیستم های بعدی و اکلپتیک

ε زاویه میل اکلپتیک

رابطه معکوس بین این سیستم‌ها بصورت زیر است:

- سیستم‌های مختصات زمینی

جهت تعیین مختصات نقاط در سطح زمین از این دسته از سیستم‌های مختصات استفاده می ‌شود، این دسته از سیستم‌های مختصات نسبت به زمین ثابت هستند[13] یعنی در حرکات روزانه و سالیانه زمین شرکت دارند، این سیستم‌ها به دو دسته کلی ژئوسنتریک و توپوسنتریک تقسیم می‌شوند، دسته اول سیستم‌هایی هستند که مرکز آنها بر مرکز ثقل زمین منطبق است و دسته دوم سیستم‌هایی هستند که مرکز آنها روی سطح زمین است. در زیر مشخصات کلی این سیستم‌ها را بیان می ‌کنیم.

1- سیستم مختصات زمینی ژئوسنتریک لحظه‌ای (IT) [14] :

الف) مبدأ: مرکز ثقل زمین

ب) قطب اولیه یا محور z : در راستای محور دورانی لحظه‌ای زمین و گذرنده از قطب لحظه‌ای

ج) صفحه اولیه: صفحه استوایی لحظه‌ای زمین

د) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار گرینویچ لحظه‌ای زمین این نصف‌النهار نسبت به حرکت قطبی تصحیح نشده است ولی نسبت به تغییرات فصلی سرعت زاویه‌ای دورانی زمین تصحیح شده است.

ه‍ ( محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه.

و) محور y : طوری انتخاب می ‌شود که سیستم دست راستی باشد.

شکل 13- سیستم مختصات زمینی لحظه ای

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر خواهد شد.

2- سیستم مختصات زمینی ژئوسنتریک متوسط (قراردادی) 15C.T

الف) مبدأ: مرکز ثقل زمین

ب ) قطب اولیه یا محور z : در راستای محور دورانی متوسط زمین و گذرنده از نقطه C. I. O

ج ) صفحه اولیه : صفحه استوای متوسط زمین

د‍ ) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار گرینویچ متوسط  (نسبت به حرکت قطبی و تغییرات فصلی سرعت زاویه‌ای دوران زمین تصحیح شده است)

ه )‍ محور‍ x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه

و ) محور y : طوری انتخاب می‌شود که سیستم دست راستی باشد.

شکل 14- سیستم مختصات متوسط زمین

15- Conventional Terrestrial Coordinate System

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر خواهد شد.

3-      سیستم مختصات مکان ظاهری (AP) :

الف) مبدأ: مرکز ثقل زمین

ب ) قطب اولیه یا محور Z : منطبق بر محور دورانی لحظه‌ای زمین و گذرنده از قطب شمال لحظه‌ای

ج ) صفحه اولیه : صفحه استوای لحظه‌ای زمین

د ) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار لحظه‌ای گذرانده از                نقطه ورنال

ه‍ ( محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه

و ) محور y : طوری انتخاب می ‌شود که سیستم دست راستی باشد.

شکل 15- سیستم مختصات مکان ظاهری

بردار پایه در این سیستم بصورت زیر است.

4- سیستم مختصات ژئودتیکی (G) :

الف) مبدأ: مرکز بیضوی

ب) قطب اولیه یا محور Z : منطبق بر محور کوچک بیضوی و گذرنده از قطب شمال ژئودتیکی

ج) صفحه اولیه: صفحه استوای ژئودتیکی

د) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار ژئودتیکی گرینویچ

ه‍ ( محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه

د) محور y : طوری انتخاب می ‌شود که سیستم دست راستی باشد.

شکل 16- سیستم مختصات ژئودتیکی

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر است:

5- سیستم مختصات زمین توپوسنتریک محلی (L.A)

این سیستم طبیعی ‌ترین سیستم مختصات در ژئودزی است و تمامی مشاهداتمان را در این سیستم انجام می ‌دهیم، مشخصات این سیستم عبارتند از:

الف) مبدأ روی سطح زمین (نقطه مشاهداتی)

ب) قطب اولیه یا محور z در راستای بردار شتاب ثقل واقعی و در خلاف جهت آن

ج) صفحه اولیه، صفحه افق در نقطه مشاهداتی

د) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار ناظر

ه‍ ( محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه و گذرنده از نقطه شمال نجومی

و) محور y طوری انتخاب می ‌شود که سیستم دست چپی باشد.

شکل 17- سیستم مختصات زمینی توپوسنتریک محلی

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر تعریف می‌شود:

V : زاویه ‌شیب زاویه بین صفحه افق و امتداد مورد نظر که در صفحه قائم و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت اندازه‌گیری می ‌شود.

Z : زاویه ‌زنیتی، متمم زاویه شیب است.

A : زاویه بین راستای شمال نجومی و امتداد مورد نظر که در صفحه افق و در جهت عقربه‌های ساعت بین  اندازه‌گیری می ‌شود.

شکل 18-زاویه شیب و زاویه زنیتی و آزیموت در سیستم LA

6- سیستم مختصات زمینی ژئودتیکی محلی (L.G) :

الف) مبدأ : روی سطح زمین (نقطه مشاهداتی)

ب) قطب اولیه یا محور Z : در راستای بردار شتاب ثقل نرمال (عمود بر سطح بیضوی) و در خلاف جهت آن

ج) صفحه اولیه : عمود بر قطب اولیه در نقطه مشاهداتی (مماس بر سطح بیضوی)

د) صفحه ثانویه: صفحه نصف‌النهار ژئودتیکی گذرنده از نقطه مشاهداتی

ه‍ ( محور x : فصل مشترک صفحات اولیه و ثانویه و گذرنده از نقطه شمال ژئودتیکی

ی) محور y : طوری انتخاب می ‌شود که سیستم دست‌چپی باشد.

شکل 19 – سیستم مختصات ژئودتیکی محلی

بردار پایه در این سیستم به صورت زیر تعریف می ‌شود.

 : آزیموت ژئودتیکی:

 : زاویه قائم ژئودتیکی             

 : زاویه زنیتی ژئودتیکی

شکل 20- آزیموت و زاویه قائم و زاویه زنیتی ژئودتیکی

- ارتباط بین سیستم‌های مختصات زمینی :

1- رابطه بین سیستم‌های مختصات CT و IT

مطابق شکل و براساس روابط ماتریس‌های دوران می‌توان نوشت:

شکل 21- رابطه بین سیستم مختصات IT , CT

(x_p,y_p) مختصات قطب لحظه‌ای هستند.

که در نهایت پس از ساده کردن روابط داریم:

البته رابطه معکوس بین این دو سیستم به صورت زیر خواهد شد.

2-  رابطه بین سیستم‌های مختصات IT و AP

شکل 21 - ارتباط بین سیستمهای IT,AP

GAST : زمان نجومی حقیقی گرینویچ

رابطه معکوس بین این دو سیستم به صورت زیر خواهد شد:

3-  رابطه بین سیستم‌های ژئودتیکی و زمینی متوسط (CT)

شکل 22- ارتباط بین سیستمهای G , CT

برای این ارتباط باید مختصات مرکز بیضوی نسبت به

 مرکز ثقل زمین مشخص باشند . همچنین دورانهای محورهای

بیضوی نسبت به محورهای سیستم زمینی جزء معلومات است:

4-  رابطه بین سیستمهای زمینی متوسط (CT) و زمینی محلی (L.A)

شکل 23- ارتباط بین سیستمهای LA , CT

 برای این ارتباط باید مختصات زمینی متوسط  در نقطه مشاهداتی مشخص باشند. همچنین از ماتریس انعکاسی جهت تبدیل سیستم دست چپی به دست راستی استفاده شود.

رابطه معکوس بین این دو سیستم عبارتست از:

5-  رابطه بین سیستم‌های ژئودتیکی (G) و ژئودتیکی محلی (L.G)

شکل 24- ارتباط بین سیستمهای G , LG

 برای این ارتباط باید مختصات ژئودتیکی نقطه مشاهداتی مشخص باشد  ماتریس انعکاسی برای تبدیل سیستم دست‌چپی به دست راستی استفاده می ‌شود.

رابطه معکوس بین این دو سیستم عبارت است از:

6-  رابطه بین سیستم‌های ژئودتیکی محلی و نجومی محلی

شکل 25- ارتباط بین سیستم های LA , LG

برای این ارتباط باید مؤلفه‌های زاویه انحراف قائم  در نقطه مشاهداتی مشخص باشند، همچنین  اختلاف بین آزیموت نجومی و ژئودتیکی نیز باید مشخص باشد.

رابطه معکوس بین این دو سیستم عبارت است از:

از مقایسه این دو سیستم می‌توان به روابط زیر رسید:

روابط زیر نیز از ارتباط بین سیستم‌های مختصات زمینی نتیجه شده‌اند:

درحالتیکه محورهای سیستم ژئودتیکی و زمین با یکدیگر موازی باشند،  داریم:

اشکال مختلف زمین

1- شکل طبیعی زمین:16 شکل طبیعی زمین، دارای پیچیدگی ‌های زیاد و غیر منظم است و برای آن نمی ‌توان یک رابطه ریاضی بیان کرد. این شکل شامل سطح زمین در خشکی ‌ها و ناهمواری های بستر دریاها و اقیانوسها می ‌باشد. اکثر مشاهدات در نقشه‌برداری و ژئودزی روی این سطح انجام می ‌شود.

2- ژئوئید:17 سطح هم پتانسیلی که تقریباً منطبق بر سطح متوسط آبهای آزاد دریاها می ‌باشد، این شکل از زمین بعنوان سطح مقایسه در تعیین ارتفاعات استفاده می‌شود. اگر چه ناهمواری ها و پیچیدگیهای این سطح در مقایسه با شکل طبیعی زمین بسیار کمتر می‌باشد، با این حال ژئوئید دارای یک رابطه ریاضی نیست.

شکل 26 و 27  --ژئوئید

3- بیضوی دو محوری:18 با کمی اغماض می ‌توان مناسبترین شکل هندسی برای زمین را بیضوی دو محوری (دورانی) در نظر گرفت. این شکل، به عنوان سطح محاسباتی در ژئودزی مورد استفاده قرار می ‌گیرد.

شکل28- بیضوی

a : نصف قطر بزرگ

b : نصف قطر کوچک

f : فشردگی بیضوی

(a ,f) دو پارامتر مهم در تعریف بیضوی هستند.

معادله ریاضی برای بیضوی دورانی بصورت  می‌باشد.

جدایی بین ژئوئید و بیضوی "ارتفاع ژئوئید" و یا "نوسانات ژئوئید" نامیده می‌شود،که این مقدار حداکثر در سطح زمین حدود 100- متر در جنوب شبه قاره هند می ‌باشد.

زاویه فضایی بین راستای شتاب ثقل واقعی در یک نقطه و راستای شتاب ثقل نرمال "زاویه انحراف قائم" نامیده می‌شود که حداکثر در سطح زمین در حدود 1 دقیقه می‌باشد، زاویه انحراف قائم را می‌توان بردو مؤلفه عمود بر هم در راستای نصف‌النهار و صفحه قائم‌اولیه تجزیه نمود که به آنها به ترتیب مؤلفه شمالی ـ جنوبی  و شرقی ـ غربی  می‌گویند.

شکل 29 - ارتفاع از ژئوئید

پارامترهای بیضوی های مقایسه در ژئودزی طوری انتخاب می‌شوند که بهترین انطباق را در جهان و یا در یک منطقه نسبت به ژئوئید داشته باشند. با استفاده از یکی از روابط زیر می‌توان این شرط را برقرار ساخت.

  و یا 

در بیضوی‌هایی که بعنوان سطح مقایسه در تمامی جهان استفاده می‌شوند لازم است تا از اطلاعات ارتفاع ژئوئید در سرتاسر جهان استفاده کنیم، اصطلاحاً به این نوع از بیضوی ‌ها، بیضوی ‌های جهانی یا متوسط گفته می‌شود، و در حالتی که از اطلاعات ژئوئید تنها در یک منطقه استفاده شود، بیضوی محلی تعریف می‌شود.

شکل0 3 - بیضوی محلی و جهانی

با توجه به تعاریف فوق تا کنون بیضویهای مختلفی تعریف شده‌اند که در جدول زیر نمونه‌هایی از آنها را بیان می‌کنیم.

جهت تعیین مختصات نقاط نسبت به بیضوی علاوه بر دانستن ابعاد بیضوی (a ,f) باید وضعیت بیضوی را نسبت به سطح زمین بدانیم، یعنی باید مشخص کنیم محورهای بیضوی نسبت به محورهای زمین چه وضعیتی دارند.

در این حالت باید 8 پارامتر مشخص باشند، این پارامترها عبارتند از:

به این پارامترها اصطلاحاً، پارامترهای ژئوسنتریک19 جهت تعریف سطح مقایسه20 می‌‌گویند.

 مختصات مرکز بیضوی نسبت به مرکز ثقل زمین است،

   دوران‌های محورهای بیضوی را نسبت به محورهای سیستم مختصات طبیعی زمین نشان می‌دهد.

شکل 31- محورهای بیضوی و زمین

تعریف مختصات منحنی الخط ژئودتیکی

در یک سیستم مختصات بر مبنای بیضوی که در ژئودزی به آن سیستم مختصات ژئودتیکی می ‌گویند، مطابق شکل زیر مختصات منحنی ‌الخط یک نقطه را می ‌توان با سه پارامتر عرض ژئودزی21، طول ژئودزی22، و ارتفاع هندسی23 (ژئودزی) تعریف نمود.

شکل 32-  مختصات منحی الخط

عرض ژئودزی  : زاویه بین صفحه استوای ژئودتیکی و خط عمود بر سطح بیضوی در نقطه مورد نظر که در صفحه نصف‌النهار ژئودتیکی نقطه مورد نظر و در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت بین ^o90-0 اندازه‌گیری می ‌شود.

(در نیمکره جنوبی عرض‌های ژئودزی منفی هستند)

- طول ژئودزی  : زاویه بین صفحه نصف‌النهار ژئودتیکی گرینویچ و نصف‌النهار ژئودتیکی نقطه مورد نظر که در صفحه استوای ژئودتیکی و در خلاف حرکت عقربه‌های ساعت بین ^o360-0 یا ^h24-0 اندازه‌گیری می ‌شود.

ارتفاع ژئودزی (h) : فاصله بین یک نقطه روی سطح زمین تا تصویر آن نقطه روی بیضوی که در راستای خط عمود بر سطح بیضوی در نقطه مورد نظر، می‌باشد ارتفاع ژئودزی می‌گویند.

-       تبدیل مختصات منحنی الخط به کارتزین و بالعکس.

    ,  

برای تبدیل معکوس، یعنی از کارتزین به منحنی ‌الخط از روابط زیر استفاده می ‌شود.

برای تعیین عرض ژئودتیکی از رابطه بسته زیر استفاده می‌کنیم.

پس از تعیین عرض ژئودتیکی ارتفاع نقطه با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید.

- تبدیل مختصات ژئودتیکی از یک سطح مبنای محلی به سطح مبنای جهانی :

برای تبدیل مختصات منحنی‌الخط از یک سطح مبنای محلی به سطح مبنای جهانی جهت استفاده در فعالیت‌های نقشه‌برداری ژئودزی و ناوبری می‌توان از روابط زیر استفاده نمود.

 با استفاده از روابط مالدنسکی تعیین شده‌اند.

 مختصات ژئودتیکی مقطع مورد نظر در سطح مبنای اول   

اختلاف بین مختصات مبدأ در دو سطح مبناء    

اختلاف بین پارامترهای دو سطح مبناء     

   شعاع دایره قائم اولیه

  شعاع دایره نصف‌النهاریM:

در ایران سطح مبنای ژئودتکی محلی که در بعضی از موارداز آن استفاده شده است. EUROPEAN 1950  است که بیضوی رفرانس آن، بیضوی بین‌المللی 1924 است.